椭圆函数叠加作为大量非线性方程的解

对于大量离散和连续的非线性方程，我们展示了一种线性叠加。我们表明，只要一个非线性方程允许用模数为 $m$ 的 Jacobi 椭圆函数 $\cn(x,m)$ 和 $\dn(x,m)$ 表示解，那么它也允许用它们的和以及差来表示解。我们在多个非线性方程的情况下验证了这一点，例如非线性 Schr\"odinger 方程、MKdV、混合 KdV-MKdV 系统、混合二次 - 三次非线性 Schr\"odinger 方程、Ablowitz-Ladik 方程、饱和非线性 Schr\"odinger 方程、$\lambda \phi^4$、离散 MKdV 以及多个耦合场方程。此外，对于大量非线性方程，我们表明，只要一个非线性方程允许用 $\dn^2(x,m)$ 表示周期解，它也允许用 $\dn^2(x,m) \pm \sqrt{m} \cn(x,m) \dn(x,m)$ 表示解，即使 $\cn(x,m) \dn(x,m)$ 不是这些非线性方程的解。最后，我们还获得了多个耦合非线性方程的各种形式的叠加解。