超普法夫行列式

设 $V=V_0+V_1$ 为一个实有限维超向量空间，其上配有非退化反对称偶双线性型 B。令 spo(V) 为保持 B 的 V 的自同态的李超代数。我们将 spo(V) 视为超流形。我们证明，$V_1$ 的一个定向与 -1 的一个平方根 i 的选取决定了超流形 spo(V) 上一个非常有趣的广义函数，即超普法夫行列式（superPfaffian）。当 $V=V_1$ 时，spo(V) 为正交李代数 so(V_1)，而超普法夫行列式即为通常的普法夫行列式，是行列式的平方根。当 $V=V_0$ 时，spo(V) 为辛李代数 sp(V_0)，而超普法夫行列式是 sp(V_0) 的李代数对偶中两个极小幂零轨道之一的傅里叶变换的常数倍，并且是 spo(V) 可逆元开子集内行列式逆元的解析平方根。我们认为超普法夫行列式（共有四个，对应于 $V_1$ 的两个定向与 -1 的两个平方根）是基本对象。至少，它们出现在超流形的等变上同调研究中，以及具有李代数 spo(V) 的亚辛群（metaplectic group）的亚辛表示研究中。本文中，我们给出超普法夫行列式的定义及一些基本性质。