平方和模型序列

设 $h_n(v)$ 为一系列有理函数，满足对 $n>0$ 有 $$\frac{h_n(v)}{v}-nh_n(v)+(n-1)h_{n-1}(v)-vh_{n-1}'(v)+\frac{v(v(vh_{n-1}(v))')'}{4}=0$$ 且 $h_0(v)=1$。我们证明 $h_n(v)$ 在 $v=1/n$ 处有极点当且仅当 $n$ 是两个整数平方和。更进一步地，若 $r_2(n)=\#\{(a,b)\in \mathbb Z^2: a^2+b^2=n\}$，则我们推导公式 $$\underset{v=1/n}{\mathrm{Res}}h_n(v)=\frac{(-1)^{n-1}r_2(n)}{n16^n}.$$ 随后推广到关于 $\Gamma(2)$ 的任意模形式，从而获得拉姆齐猜想的新准则，用于拉马努金的 $\tau$ 函数。