对 3 维流形的同调群求和

我们考虑一个 3 维拓扑量子引力的玩具模型。在该模型中，给定 3 维流形的贡献由具有拓扑边界条件的阿贝尔拓扑量子场论 (TQFT) 的配分函数给出。利用 TQFT 配分函数仅依赖于 3 维流形的第一个同调群（以及额外结构）的事实，可以将固定边界上所有 3 维流形的求和重新表述为对有限生成阿贝尔群（以及额外结构）的求和。我们给出了通用权重（即在带额外结构的有限生成阿贝尔同构类的集合上的度量）的下界，足以使求和收敛。此外，在度量的进一步假设下，我们认为 2 维 TQFT 的分布存在，使得该求和等于其在边界上评估的配分函数的集合平均值。对于某种类型的度量，3 维流形的求和可以分解为对每个素数 $p$ 的阿贝尔 $p$ 群的求和，可以针对每个素数独立进行分析。