广义齐肯多夫分解的加数极小性与渐近收敛性

给定递推序列 $H$，满足 $H_n = c_1 H_{n-1} + \dots + c_t H_{n-t}$，其中对所有 $i$ 有 $c_i \in \mathbb{N}_0$ 且 $c_1, c_t \geq 1$，$m \in \mathbb{N}_0$ 的广义齐肯多夫分解（gzd）是使用 $H$ 的 $m$ 的唯一表示，由字典序小于 $\sigma = (c_1, \dots, c_t)$ 的块组成。我们证明，对所有 $m$，使用 $H$ 的 $m$ 的所有表示中，gzd 使用的加数最少，当且仅当 $\sigma$ 弱递减。我们开发了一种从 $m$ 的任意表示转移到 gzd 的算法，其分析证明 $\sigma$ 弱递减蕴含加数极小性。我们证明形如 $v_0 H_n + \dots + v_\ell H_{n-\ell}$ 的数的 gzd 在 $n \to \infty$ 时以适当意义收敛，并进一步分类了此收敛的三种不同行为。我们利用该结果，结合某些多项式族的不可约性，在 $\sigma$ 非弱递减时给出一种比 gzd 使用更少加数的表示。