通过确定Gröbner基获得Vizing猜想的平方和证明

著名的开放Vizing猜想声称，两个图G和H的笛卡尔积图的支配数至少是G和H支配数的乘积。最近，Gaar、Krenn、Margulies和Wiegele使用所有具有n𝒢个顶点和支配数k𝒢的图的图类𝒢，并将Vizing猜想重新表述为：对于所有图类𝒢和ℋ，Vizing多项式在模Vizing理想下是平方和（SOS）的问题。通过求解半定规划（SDP）和巧妙的猜测，他们为k𝒢、n𝒢、kℋ和nℋ的某些值推导出了SOS证明。本文考虑他们在k𝒢 = kℋ = 1情形下的方法。对于这种情况，我们能够推导出Vizing理想的唯一约化Gröbner基。基于此，我们推导出Vizing猜想的SOS证明的最小次数为(n𝒢 + nℋ - 1)/2，这是此类结果中的第一个。此外，我们提出了一种为满足n𝒢 + nℋ - 1 = d（对于一般的d）的图类𝒢和ℋ寻找证明的方法，该方法同样基于求解SDP，但不依赖于猜测，且依赖于规模小得多的SDP。我们在SageMath中实现了我们的新方法，并为所有满足k𝒢 = kℋ = 1且n𝒢 + nℋ ≤ 15的图类𝒢和ℋ给出了新的SOS证明。