具有指定大小与出度的子有向图

2006 年,Noga Alon 提出了如下开放问题:是否存在绝对常数 $c>0$,使得每个具有最小出度至少 $s$ 的 $2n$ 顶点有向图包含一个最小出度至少 $\frac{s}{2}-c$ 的 $n$ 顶点子有向图?在本注记中,我们否定地回答了这一自然问题,通过证明对任意大的 $n$ 值,存在一个最小出度 $s=n-1$ 的 $2n$ 顶点竞赛图,其中每个 $n$ 顶点子有向图都包含一个出度至多为 $\frac{s}{2}-\left(\frac{1}{2}+o(1)\right)\log_3(s)$ 的顶点。