关于有向图的分裂

1995年，Stiebitz 提出了以下问题：对于任意正整数 $s,t$，是否存在一个有限整数 $f(s,t)$，使得每个最小出度至少为 $f(s,t)$ 的有向图 $D$ 都允许一个二分划 $(A, B)$，使得 $A$ 导出的子有向图的最小出度至少为 $s$，且 $B$ 导出的子有向图的最小出度至少为 $t$？我们对竞赛图、多部竞赛图以及最大入度有界的有向图给出了肯定回答。特别地，我们证明了对于每一个满足 $0<\epsilon<1/2$ 的 $\epsilon$，存在整数 $\delta_0$，使得每个最小出度至少为 $\delta_0$ 的竞赛图允许一个二等分 $(A, B)$，从而每个顶点在 $A$ 中以及也在 $B$ 中拥有至少 $(1/2-\epsilon)$ 的出邻点。