与实闭域及选择公理相关的结构
逻辑
2026-05-19 v2
摘要
实闭域 的整数部分 是一个具有最小元 1 的离散有序子环，使得对于 中的每个 ， 包含某个 ，使得在 的序中 介于 和 之间。Mourgues 和 Ressayre 证明了每个实闭域都有一个整数部分。他们的构造隐式地使用了选择公理。我们通过构造一个 ZF（即不含选择公理的集合论）的传递模型来证明选择公理实际上是获得该结果所必需的，该模型包含一个没有整数部分的实闭域。随后，我们分析了某些不需要选择公理即可获得整数部分的情形。在此过程中，我们证明了一类问题（包含“选择公理对于证明某个 ZFC 定理是否必要”这一问题）在算法上是不可判定的。我们进一步应用这些方法表明，每个实闭域是否拥有值群截面和剩余域截面独立于 ZF。这也为整数部分构造的有效化可能性提供了一些启示。
引用
@article{arxiv.1402.6130,
title = {Structures Associated with Real Closed Fields and the Axiom of Choice},
author = {Merlin Carl},
journal= {arXiv preprint arXiv:1402.6130},
year = {2026}
}