非线性规范变换的结构

以波函数$\psi(x)$定义的Doebner-Goldin非线性规范变换（NGT）[Phys. Rev. A 54, 3764 (1996)]并不构成群。要获得群性质，必须考虑对复辐角函数不同分支作用不同的变换，且仅知$\psi(x)$的值不足以定义良好的NGT。以$\psi(x)$良好定义的NGT构成一个半群，由实数$\gamma$与非零$\lambda$参数化，其中$\lambda$为整数或$-1\leq \lambda\leq 1$。将NGT推广到投影算符与一般密度矩阵导致具有复$\gamma$的NGT。演化的线性与密度矩阵的厄米性均为规范依赖性质。