临界维度中Lanczos-Lovelock拉格朗日量的结构

Lanczos-Lovelock引力模型构成了D维空间中最一般的引力理论，它们满足(a)等效原理，(b)广义协变原理，并且(c)其场方程只涉及度规张量的导数，最高至二阶。第m阶Lanczos-Lovelock拉格朗日量是曲率张量的m次多项式。在临界维度$D = 2m$中，由此产生的场方程变得平凡，并且作用量本身可以写成用微分形式语言表达的、涉及vierbein量的外微分的积分。虽然这些结果是众所周知的，但文献中对于Lanczos-Lovelock拉格朗日量本身在$D = 2m$时是否可以表示为仅由度规及其导数（不使用vierbein）构建的量的全散度存在一些争议。我们通过证明这确实是可能的，并为其构造提供了一种算法，从而解决了这个问题。特别地，我们证明了在二维中，$R \sqrt{-g} = \partial_j R^j$，其中函数对$R^j = (R^0,R^1)$仅依赖于度规及其一阶导数。我们在二维中显式构造了这样的$R^j$族。我们还讨论了关于四维中Gauss-Bonnet拉格朗日量的相关问题。最后，我们展示了Chern-Simons形式与第m阶Lanczos-Lovelock拉格朗日量之间的关系。