Chern-Weil 定理、临界维数中的 Lovelock 拉氏量及引力作用量中的边界项

在本文中,我们展示如何将 Lorentz 对称性的 Chern-Weil 定理翻译成张量语言,该定理将两个流形的 Euler 密度之差等同于一个迁移形式的外导数。为此我们需要引入一个辅助的、混合的流形,并显式构造其几何。这使我们能找到仅由时空量构造的矢量密度,其散度即为迁移形式的外导数。由此我们可以展示 Einstein-Hilbert、Gauss-Bonnet 以及一般的 Euler 标量密度如何能在临界维数 $D=2,4$ 等中写为真正矢量密度的散度。由于 Lovelock 引力是 Euler 密度的维数延拓,这些结果对 Gauss-Bonnet 以及一般的 Lovelock 引力具有意义。事实上,这些可称为广义 Katz 矢量的矢量尤其确保了良好定义的 Dirichlet 变分原理。