II 型因子中投影的强和

设 $M$ 为 II 型因子，$\tau$ 为忠实正半定正规迹，在 ${\rm II}_\infty$ 型情形下唯一至标量倍数，在 ${\rm II}_1$ 型情形下由 $\tau(I)=1$ 规范化。给定 $A\in M^+$，我们以 $A_+=(A-I)\chi_A(1,\|A\|]$ 记 $A$ 的超出部分，以 $A_-=(I-A)\chi_A(0,1)$ 记 $A$ 的亏缺部分。V. Kaftal、P. Ng 与 S. Zhang 给出了在正算子可写为类型 ${\rm I}$ 与类型 ${\rm III}$ 因子中有限或无限个投影（不必相互正交）之和的充要条件。对于 II 型因子，V. Kaftal、P. Ng 与 S. Zhang 证明了 $\tau(A_+)\geq \tau(A_-)$ 是可写为有限或无限个投影之和的算子 $A\in M^+$ 的必要条件，且若算子“可对角化”则也是充分的。在本文中，我们证明若 $A\in M^+$ 且 $\tau(A_+)\geq \tau(A_-)$，则 $A$ 可写为有限或无限个投影之和。该结果肯定地回答了 V. Kaftal、P. Ng 与 S. Zhang 提出的一个问题。