图的强奇偶边染色

图 $G$ 的边染色为 $G$ 的每条边分配一种颜色。如果对于 $G$ 中的每个路径 $P$，该染色在 $P$ 的奇数条边上使用某种颜色，则称为奇偶边染色。如果对于 $G$ 中的每个开放步行 $W$，该染色在 $W$ 沿途的奇数次使用某种颜色，则称为强奇偶边染色。图 $G$ 中奇偶边染色和强奇偶边染色的最少颜色数分别记为 $p(G)$ 和 $\hat{p}(G)$。我们对强奇偶边染色进行了特征化，并利用该特征化证明了 $\hat{p}(G)$ 的下界，并回答了 Bunde、Milans、West 和 Wu 的若干问题。具体应用如下：（1）我们证明了关于 $\hat{p}(K_{s,t})=s \circ t$ 的猜想成立，其中 $s \circ t$ 为 Hopf-Stiefel 函数。（2）我们表明，对于连通的 $n$ 顶点图 $G$，当且仅当 $G$ 是超立方体 $Q_{\lceil \log_2 n \rceil }$ 的子图时，$\hat{p}(G)$ 等于已知下界 $\lceil \log_2 n \rceil$。（3）我们渐近计算当 $G$ 为路径的第 $\ell$ 次距离幂时的情况，证明 $\hat{p}(P_n^\ell)\sim\ell \lceil {\log_2 n} \rceil$。（4）我们反驳了关于当 $G$ 为二分图时 $\hat{p}(G)=p(G)$ 的猜想，通过构造二分图 $G$ 使得 $\hat{p}(G)/p(G)$ 可任意大；具体地，$\hat{p}(G)\ge\frac{1-o(1)}3 k\ln k$ 且 $p(G)\le2k+k^{1/3}$。