$\rd$ 中一类高阶柯西问题的随机解

我们研究有界域中一类高阶偏微分方程的解。这些偏微分方程首次出现在 Allouba 与 Zheng \cite{allouba1}、Baeumer、Meerschaert 与 Nane \cite{bmn-07}、Meerschaert、Nane 与 Vellaisamy \cite{MNV} 以及 Nane \cite{nane-h} 的论文中。我们通过将受抑马尔可夫过程关于指数 $0<\beta <1$ 的稳定子过程的击中时间进行次化，或关于与马尔可夫过程独立的、指数 $0<\alpha\leq 2$ 的对称 $\alpha$-稳定过程的绝对值进行次化，来表达这些解。在某些特殊情况下，我们通过运行 $k$ 个独立布朗运动的复合（称为 $k$ 次迭代布朗运动，其中整数 $k\geq 2$）来表示解。我们利用了 Allouba 与 Zheng \cite{allouba1} 首次建立、后由 Baeumer、Meerschaert 与 Nane \cite{bmn-07} 在多个方向上推广的分时扩散与高阶偏微分方程之间的联系。