度量空间上的随机序与有序 Kantorovich 单子

在早前工作中，我们引入了完备度量空间上的 Kantorovich 概率单子，推广了 van Breugel 的一个构造。此处我们将 Kantorovich 单子进一步推广到某类有序度量空间，通过赋予概率测度空间以通常的随机序。它可被视为概率幂域的度量类比。我们所考虑的空间（称之为 L-有序）是指其中的序与度量本身满足温和相容条件，而非仅与底层拓扑相容的空间。如我们所展示的，这与 Lawvere 度量空间理论相关，其中偏序结构由零距离诱导。我们表明，有序 Kantorovich 单子的代数乃是配备闭正锥的 Banach 空间的闭凸子集，其代数态射由短且单调的仿射映射给出。将 L-有序度量空间范畴视为局部偏序的 2-范畴，则 lax 与 oplax 代数态射恰分别为凹短映射与凸短映射。在无序情形中，我们曾将 Wasserstein 空间识别为有限序列经验分布空间的余极限。我们证明这推广到有序情形：通过表明随机序由有限序列间序的完备化得到，推广了 Lawson 近期的一个结果。该证明在任何配备闭偏序的度量空间上均成立。