基于随机维度隐式函数投影的高维 PINN 中的精确积分守恒

在神经偏微分方程（PDE）求解器中强制执行质量、能量等宏观守恒律在高维情况下具有计算挑战。传统离散投影依赖确定性数值积分，规模化问题且限制了无网格格式如 PINN。此外，高阶算子带来巨大的内存开销，通用优化常缺乏对非凸守恒流形的收敛保证。为此，我们提出随机维度隐式函数投影（SDIFP）框架。SDIFP不对离散向量进行投影，而是对连续网络输出应用全局仿射变换。这通过脱离的蒙特卡洛（MC）数值积分获得积分约束的闭式解，绕过空间网格依赖。为实现可扩展训练，我们引入双随机无偏梯度估计器（DS-UGE）。通过解耦空间抽样与微分算子抽样，DS-UGE将内存复杂度从 $\mathcal{O}(M \times N_{\mathcal{L}})$ 降低到 $\mathcal{O}(N \times |\mathcal{I}|)$。SDIFP缓解抽样方差，保持解的规整性，维持 $\mathcal{O}(1)$ 的推理效率，提供一种可扩展、无网格的方法用于求解保守型高维 PDE。