有限群下不变深度神经网络求解偏微分方程
机器学习
2025-04-08 v2
摘要
利用物理信息神经网络（PINN）求解偏微分方程（PDE）已成为热点问题，并展现出强大能力，但仍面临采样域内预测精度有限和采样域外预测能力差的困境，通常通过将PDE的物理特性加入损失函数或采用智能技术为特定PDE改变损失函数形式来缓解。本文设计了一种对称增强深度神经网络（sDNN），通过将每个隐藏层中的权重矩阵和偏置向量的维度按有限群的阶数扩展（如果该群具有矩阵表示），否则将输入数据集和除第一个隐藏层外的隐藏层按有限群的阶数扩展，使神经网络架构在有限群下不变。然而，由于sDNN的对称架构，总训练参数数量仅为原始PINN规模的有限群阶数分之一。此外，我们给出了sDNN权重矩阵和偏置向量的特殊形式，并严格证明了该架构在有限群下不变，且sDNN具有保持有限群的函数的通用逼近能力。数值结果表明，sDNN在采样域内和域外均具有强大的预测能力，并且在训练点更少、架构更简单的情况下优于原始PINN。
关键词
引用
@article{arxiv.2407.20560,
title = {Invariant deep neural networks under the finite group for solving partial differential equations},
author = {Zhi-Yong Zhang and Jie-Ying Li and Lei-Lei Guo},
journal= {arXiv preprint arXiv:2407.20560},
year = {2025}
}