用于偏微分方程的各向异性、稀疏且可解释的物理信息神经网络

深度神经网络（DNNs）用于求解偏微分方程（PDEs）的兴趣日益增长。尽管此类方法前景广阔，仍有若干方面有待改进。两个此类不足是：（i）相对于经典数值方法的计算低效，以及（ii）训练后DNN模型不可解释。本工作中，我们提出ASPINN，即我们早前工作SPINN——稀疏、物理信息且可解释神经网络（Sparse, Physics-informed, and Interpretable Neural Networks）——的各向异性扩展，用以求解PDEs并同时应对这两个问题。ASPINN推广了径向基函数网络。我们利用涉及椭圆型和双曲型PDEs的多种算例证明，我们所提出的特殊架构比通用DNN更高效，同时可直接解释。此外，由于每个节点的局部影响区域具有各向异性，使用ASPINN捕捉解所需节点数少于SPINN，从而改进了我们早前提出的SPINN模型。ASPINN的可解释性转化为对其权重与偏置的直观可视化，从而加深对训练模型本质的洞察。这进而提供了基于计算解质量改进架构的系统步骤。因此，ASPINN充当了求解PDEs的经典数值算法与现代基于DNN方法之间的有效桥梁。在此过程中，我们还将ASPINN的训练精简为更接近监督学习算法的形式。