一种无监督网络架构搜索方法用于求解偏微分方程

求解偏微分方程 (PDE) 在科学和工程应用中至关重要。最近，深度学习方法广泛用于求解高维问题，其中一种是物理信息神经网络 (PINN)。典型的深度学习方法包含三个主要组成部分：神经网络、损失函数和优化器。虽然损失函数的构建植根于解空间的定义，但如何选择最优神经网络却相当随意，留下了大量改进的余地。在 PINN 框架下，我们提出了一种用于求解偏微分方程的无监督网络架构搜索方法，称为 PINN-DARTS，它将可微分架构搜索 (DARTS) 应用于在给定的神经网络集合中寻找最优网络架构结构。在该集合中，层数和每层的神经元数可以变化。在搜索阶段，网络参数和架构参数同时更新，因此运行时间接近于使用预定网络结构的 PINN。与现有工作不同，本方法无监督且完全基于 PDE 残差，不依赖任何先验解。PINN-DARTS 输出最优网络结构及其关联的数值解。在多个基准 PDE 上进行验证，包括椭圆型、抛物型、波型和布尔格方程。与传统架构搜索方法相比，PINN-DARTS 在架构准确性方面显著优于后者。另一个有趣的观察是，解的复杂度和 PDE 类型对最优网络架构都有显著影响。我们的研究表明，层间宽度不均的架构在不同解复杂度和不同 PDE 类型下可能具有更佳性能。