用于泛函微分方程的物理信息神经网络：柱面近似及其收敛性保证
摘要
我们提出了第一个用于泛函微分方程（FDE）的学习方案。FDE在物理学、数学和最优控制中扮演着基础性角色。然而，由于不切实际的计算成本，FDE的数值分析面临挑战，并且几十年来一直是一个长期存在的问题。因此，人们开发了FDE的数值近似方法，但它们常常过度简化解。为了解决这两个问题，我们提出了一种结合物理信息神经网络（PINN）与\textit{柱面近似}的混合方法。柱面近似用标准正交基展开函数和泛函导数，并将FDE转化为高维PDE。为了验证柱面近似在FDE应用中的可靠性，我们证明了近似泛函导数和解的收敛定理。然后，使用PINN对推导出的高维PDE进行数值求解。通过PINN的能力，我们的方法可以比传统的基于离散化的方法更有效地处理更广泛的泛函导数，从而提高了柱面近似的可扩展性。作为概念验证，我们在两个FDE上进行了实验，并证明我们的模型可以成功达到PINN典型的相对误差阶数。总的来说，我们的工作为物理学家、数学家和机器学习专家分析以前具有挑战性的FDE提供了强大的基础，从而普及了其数值分析，而这一领域此前受到的关注有限。代码可在\url{https://github.com/TaikiMiyagawa/FunctionalPINN}获取。
引用
@article{arxiv.2410.18153,
title = {Physics-informed Neural Networks for Functional Differential Equations: Cylindrical Approximation and Its Convergence Guarantees},
author = {Taiki Miyagawa and Takeru Yokota},
journal= {arXiv preprint arXiv:2410.18153},
year = {2024}
}
备注
Accepted at NeurIPS 2024. Both authors contributed equally. Some contents are omitted due to arXiv's storage limit. Please refer to the full paper at OpenReview (NeurIPS 2024) or https://github.com/TaikiMiyagawa/FunctionalPINN