具有阿利效应的随机差分方程

对于一个截断的随机扰动方程 $x_{n+1}=\max\{ f(x_n)+l\chi_{n+1}, 0 \}$，其中在 $(0,m)$ 上 $f(x)<x$，这对应于阿利效应，我们观察到对于非常小的扰动幅度 $l$，最终行为与无扰动情形相似：对于 $(0,m-\varepsilon)$ 中的小初值会灭绝，而对于满足某个 $H>f(H)>m$ 的 $x_0 \in (m+\delta, H]$ 会持续存在。随着幅度增大，出现并扩展了一个初值区间 $(m-\varepsilon, m+\delta)$，使得以某一概率 $x_n$ 维持在 $[m, H]$ 中，并且可能以正概率最终进入区间 $(0,m-\varepsilon)$。给出了这些概率的下界估计。如果 $H$ 足够大，随着扰动幅度增大，阿利效应消失：解对任意正初值均持续存在。