茎对称、组合积及其与腐肠图的关系

局部腐肠与全局腐肠是一族满足固定顶点集合上插值性质的标记图。标记图 $G$ 在 $n$ 个顶点的情形若在 $K_n$（或 $K_{n+1}$）上的任意两个标记嵌入之间存在可行的边替换序列，则称为局部腐肠（或全局腐肠）。其中，可行的边替换是指：删除一条边并重新插入，使得所得图同构于 $G$；由诱导的重新标记产生标签集合的一族置换。受经典群论思想的启发，我们引入挂群（hang group）——一种新型不变量，可编码局部腐肠如何嵌入更大的腐肠中。借助此框架，我们识别了茎对称图与挂对称图与局部腐肠、全局腐肠之间的充要条件。具体而言，我们展示了挂对称性与茎对称性条件在添加叶子和孤立顶点时的传播方式，从而得到局部腐肠和全局腐肠的构造判据。最后，借助乱积积，我们提供四组充分条件，保证组合积在局部腐肠、全局腐肠、茎对称或挂对称时均成立。这些结果不仅加强了现有局部腐肠与全局腐肠的构造，还推广了其应用范围。