边替换下的图同构与变形虫图族

本文对一类称为变形虫（amoebas）的图族进行了系统研究。变形虫最近源于 Ramsey-Turan 理论中完全图边 2-着色下强制模式的研究，并在极值零和问题中发挥了重要作用。变形虫是一类在如下操作下具有独特行为的图：设 $G$ 为一图，$e\in E(G)$ 且 $e'\in E(\overline{G})$。若图 $G'=G-e+e'$ 同构于 $G$，则称 $G'$ 是通过对 $G$ 执行一个\emph{可行边替换}得到的。若对于同一顶点集上的任意两个 $G$ 的拷贝 $G_1$、$G_2$，$G_1$ 可通过一串可行边替换变换为 $G_2$，则称 $G$ 为\emph{局部变形虫}。另一方面，若存在整数 $t_0 \ge 0$ 使得对所有 $t \ge t_0$，$G \cup tK_1$ 均为局部变形虫，则称 $G$ 为\emph{全局变形虫}。为建模 $G$ 的可行边替换动态，我们定义一个群 ${\rm Fer}(G)$，满足 $G$ 是局部变形虫当且仅当 ${\rm Fer}(G) \cong S_n$，其中 $n$ 为 $G$ 的阶。借助这一代数框架，变形虫的结构及其内在性质得以更深入地理解。此外，我们给出了不同的构造以证明这些图族的丰富性，其中表明：任意连通图均可作为全局变形虫的连通分支，全局变形虫可以非常稠密，且相对于其阶可具有大的团数和色数。同时，我们构造了一类具有类斐波那契结构且最大度任意大的全局变形虫树。