Stein 方法与有限域上随机矩阵的秩分布

设 ${\mathcal{Q}}_{q,n}$ 为从大小为 $q\ge2$ 的有限域 $\mathbb{F}_q$ 上所有 $n\times(n+m)$ 矩阵集合中均匀选取的矩阵的 $n$ 减去其秩的分布，${\mathcal{Q}}_q$ 为 ${\mathcal{Q}}_{q,n}$ 当 $n\rightarrow\infty$ 时的分布极限。我们应用 Stein 方法证明了全变差界 $\frac{1}{8q^{n+m+1}}\leq\|{\mathcal{Q}}_{q,n}-{\mathcal{Q}}_q\|_{\mathrm{TV}}\leq\frac{3}{q^{n+m+1}}$。此外，我们对对称矩阵、零对角对称矩阵、斜对称矩阵、斜中心对称矩阵以及 Hermitian 矩阵的秩分布获得了类似的尖锐结果。