$1+d$维随机介质中有向聚合物的低能激发统计（$d=1,2,3$）

我们考虑在空间维度$d=1,2,3$的随机介质中长度为$L$的有向聚合物。数值评估了低能激发作为其尺寸$l$函数的统计特性。这些激发可分为体激发和边界激发，其密度分别为$\rho^{bulk}_L(E=0,l)$和$\rho^{boundary}_L(E=0,l)$。我们发现这两个密度都遵循标度行为$\rho^{bulk,boundary}_L(E=0,l) = L^{-1-\theta_d} R^{bulk,boundary}(x=l/L)$，其中$\theta_d$是控制零温度下能量涨落的指数（在一维中具有众所周知的精确值$\theta_1=1/3$）。在极限$x=l/L \to 0$下，两个标度函数$R^{bulk}(x)$和$R^{boundary}(x)$的行为均为$R^{bulk,boundary}(x) \sim x^{-1-\theta_d}$，导致在$1 \ll l \ll L$区域出现液滴幂律$\rho^{bulk,boundary}_L(E=0,l)\sim l^{-1-\theta_d}$。除了在$x \to 0$附近的共同奇异性外，两个标度函数$R^{bulk,boundary}(x)$非常不同：$R^{bulk}(x)$在$0<x<1$内单调衰减，而函数$R^{boundary}(x)$在$0<x<x_{min}$内先衰减，然后在$x_{min}<x<1$内增长，最后在$x \to 1$附近呈现幂律奇异性$R^{boundary}(x)\sim (1-x)^{-\sigma_d}$。长度为$l=L$的激发密度相应地衰减为$\rho^{boundary}_L(E=0,l=L)\sim L^{- \lambda_d}$，其中$\lambda_d=1+\theta_d-\sigma_d$。我们得到$\lambda_1 \simeq 0.67$，$\lambda_2 \simeq 0.53$和$\lambda_3 \simeq 0.39$，暗示可能存在关系$\lambda_d= 2 \theta_d$。