结构组织的统计特征：更新过程中长记忆的实例

识别和量化记忆通常是建立随机过程机理性理解的关键步骤。在探索具有长程相关的过程时，这些步骤尤其具有挑战性且必要。所采用的最常见特征依赖于二阶时间统计量，例如，可借此识别出自相关函数呈幂律且赫斯特指数大于 $1/2$ 的过程中的长记忆。然而，大多数随机过程将其记忆隐藏于高阶时间关联中。信息度量——具体而言，过程过去与未来之间互信息的散度（超额熵）以及存储在过程因果状态中的最小预测记忆（统计复杂度）——提供了一种不同的方法来识别具有高阶时间关联的过程中的长记忆。然而，目前尚无具有无限超额熵的遍历平稳过程，其信息度量曾与自相关函数和赫斯特指数进行比较。在此，我们表明分形更新过程——即事件间分布尾部 $\propto t^{-\alpha}$ 的过程——通过 $\alpha = 1$ 处的相变表现出长记忆。超额熵仅在此处发散，而统计复杂度在此处及所有 $\alpha < 1$ 时发散。当这些过程确实具有幂律自相关函数且赫斯特指数大于 $1/2$ 时，它们并不具有发散的超额熵。该分析打破了这些不同记忆量化方式之间的直观关联。我们希望此处使用的基于因果状态的方法，能为如何构建和分析其他长记忆过程提供某些指导。