可统计描述的可积与非可积量子哈姆顿量

可积性是经典力学的基石，具有明确的定义。然而，将这一概念扩展到量子体系时，仍存争议。特别是，仅从矩阵层面判断一个量子哈姆顿量是否可积，远非易事，而这对于理解非平衡动力学、谱关联及相关函数在众多体系中的作用至关重要。我们发展了一种从概率视角出发的统计框架，以此量化量子可积性。关键观察是，可积性要求能隙以有限概率消失。基于此，我们提出了两步协议以区分可积与非可积哈姆顿量。第一步，我们应用系统性蒙特卡罗降采样谱方法，通过指数压缩希尔伯特空间，揭示能级间距是否趋近于泊松统计或保持混合态。该降采样的终止点指示了谱的统计特性。第二步，我们分析 $k$ 步间隙分布，以更精细地区分泊松统计与混合统计。该方法适用于规模为任意有限的哈姆顿量，无论其结构涉及少数块状，还是指数级碎片化的希尔伯特空间。作为基准，我们在由排列群 $\mathcal{S}_N$ 构建的量子哈姆顿量上实现了该协议，展示了其有效性与普适性。