统计成本分摊

我们研究合作博弈中的成本分摊问题，其中成本函数 $C$ 无法通过预言机查询获得，而必须从数据中推导，表示为不同玩家子集 $S$ 的元组 $(S, C(S))$。我们将这一方法形式化，称之为统计成本分摊，并考虑当元组从某一分布 $\mathcal{D}$ 中抽取时核心与 Shapley 值的计算。Balcan 等人在此设定下的先前工作展示了如何为有限的函数类高概率地计算满足核心性质的成本分摊。我们扩展了他们的工作，给出了一个算法，可为任何具有非空核心的函数计算此类成本分摊。我们通过证明一个较弱松弛的不可近似性下界来补充这些结果。随后，我们将注意力转向 Shapley 值。我们首先证明，当成本函数来自曲率有界（$\kappa$）的子模函数族时，Shapley 值可以从样本中近似到 $\sqrt{1 - \kappa}$ 因子，且该界是紧的。然后我们定义了 Shapley 公理的统计类比，并导出了统计 Shapley 值的概念。我们证明，对于任何分布 $\mathcal{D}$ 上的一般函数，这些值总是可以被任意良好地近似。