基于采样的 Shapley 值近似估计误差的界

Shapley 值可被认为是合作博弈论中最核心的规范性解概念。它规定了一种将合作收益在玩家间进行“公平”分配的独特方式。尽管其具有广泛的现实应用，但在许多情况下其计算难度阻碍了其使用。许多研究人员通过以下途径解决了这一问题：(i) 专注于 Shapley 值可高效计算的博弈类；(ii) 提出促进此类高效计算的表示形式；或 (iii) 近似特定博弈类中的 Shapley 值。对于经典的\textit{特征函数}表示，针对一般博弈类近似 Shapley 值的唯一尝试来自 Castro \textit{et al.} \cite{castro}。虽然该算法提供了近似误差的界，但该界是\textit{渐近}的，意味着它仅在样本数量趋于无穷大时成立。另一方面，当抽取有限数量的样本时，会引入无法量化的误差，意味着该界不再成立。鉴于此，我们在两种情况下提供了估计误差的非渐近界：(i) 玩家的边际贡献的\textit{方差}已知，以及 (ii) 玩家的边际贡献的\textit{范围}已知。此外，对于第二种情况，我们表明当范围相对于 Shapley 值显著较大时，该界可以得到改进（从 $O(\frac{r}{m})$ 到 $O(\sqrt{\frac{r}{m}})$）。最后，我们提出并演示了使用分层抽样以进一步改进这些界的有效性。