双变量 L\'evy 噪声驱动的二维系统中的稳态

由 $\alpha$-稳定噪声驱动的系统可能与其高斯对应物截然不同。单势阱中的稳态可以是多模态的。此外，势阱需要足够陡峭才能产生稳态。在此，我们证明了由双变量 $\alpha$-稳定噪声驱动的二维系统比其一维类似物更令人惊讶。在二维系统中，稳态的有趣性质不仅源于根据 $\alpha$-稳定密度分布的噪声脉冲的重尾特性，还源于谱测度的性质。因此，二维系统由一整族朗之万方程和分数扩散方程描述。这些方程的解具有一些共同性质，但也可能大相径庭。研究表明，对于二维系统，势阱同样需要足够陡峭才能产生有界态。此外，稳态在原点处可能具有局部极小值。稳态的形状反映了底层噪声的对称性，即其谱测度。最后，幂律势中的边缘密度也具有幂律渐近行为。