非退化密度依赖平均场随机微分方程的态-密度流及其关联偏微分方程

在本文中，我们研究一个组合系统：关于 $m^{t,\mu}$ 的 Fokker-Planck（FP）方程，其初值 $(t,\mu)\in[0,T]\times L^2(\mathbb{R}^d)$；以及关于 $X^{t,x,\mu}$ 的随机微分方程，其初值 $(t,x)\in[0,T]\times \mathbb{R}^d$，其系数依赖于 FP 方程的解。我们发展一种概率与分析相结合的方法，以探究泛函 $V(t,x,\mu)=\mathbb{E}[\Phi(X^{t,x,\mu}_T,m^{t,\mu}(T,\cdot))]$ 的正则性。我们的主要结果表明：在非退化条件及对系数的适当正则性假设下，函数 $V$ 是一类非局部平均场型偏微分方程的唯一经典解。证明严重依赖于流 $\mu\mapsto (m^{t,\mu}, X^{t,x,\mu})$ 在 $\mu\in L^2(\mathbb{R}^d)$ 上的微分性质。我们还给出一个例子以阐明主要结果的作用。最后，我们就初值 $\mu$ 的 $L^1$ 选取情形进行讨论。