具有扭曲截面的稳定层与光滑射影曲面上的 Vafa-Witten 方程

本文描述了光滑射影曲面上 Vafa-Witten 方程的 Hitchin-Kobayashi 型对应关系。这是一种等价关系：一方是偶 $(\mathcal{E}, \varphi)$ 的适当稳定性概念，其中 $\mathcal{E}$ 是曲面 $X$ 上的局部自由层，$\varphi$ 是 $\text{End} (\mathcal{E}) \otimes K_{X}$ 的截面；另一方是 $\mathcal{E}$ 上 Hermitian 度量的某些规范理论方程（即 Vafa-Witten 方程）解的存在性。事实证明，这是 Alvarez-Consul 和 Garcia-Prada 所获结果的一个特例。在本文中，我们给出了一种替代证明，该证明使用了 Donaldson 最初为 Hermitian-Einstein 问题开发的 Mehta-Ramanathan 型论证，因为它将该主题与黎曼曲面上的 Hitchin 方程联系起来，并且明确指出了在 arXiv:0805.2192 中描述的光滑射影三维流形上的 Donaldson-Thomas 瞬子方程在稳定性假设下解的存在性的类似证明；更广泛地说，也指向高维光滑射影簇上 quiver 涡旋方程的类似证明。