一类动力学 Fokker-Planck 方程的稳定高效 Petrov-Galerkin 方法
数值分析
2021-04-13 v2 数值分析
摘要
我们提出一种动力学 Fokker-Planck 方程的稳定 Petrov-Galerkin 离散格式，其构造方式使得一致 inf-sup 稳定性可直接由变分形式推得。受抛物方程适定性结果的启发，我们通过稳定的试函数与检验函数对，导出 Fokker-Planck 双线性形式对偶 inf-sup 常数的下界。此类函数对中的试函数通过对给定检验函数作用动力学传输算子与逆速度 Laplace-Beltrami 算子构造。对于 Petrov-Galerkin 投影，我们选取任意离散检验空间，再通过同样的传输与逆 Laplace-Beltrami 算子作用定义离散试空间。由此，空间在离散层面复现了连续层面的稳定函数对，我们得到一种适定数值方法，其离散 inf-sup 常数与连续问题的 inf-sup 常数相同，且与网格尺寸无关。我们展示了如何通过低维椭圆问题高效计算特定基函数，并通过数值实验验证了该方法的实用性与性能。
引用
@article{arxiv.2010.15784,
title = {Stable and efficient Petrov-Galerkin methods for a kinetic Fokker-Planck equation},
author = {Julia Brunken and Kathrin Smetana},
journal= {arXiv preprint arXiv:2010.15784},
year = {2021}
}