关于单子范畴作用的稳定化与余稳定化

我们研究单子范畴在适当富化的 $2$-范畴中的对象上的作用,及其在稳定同伦理论中的应用。给定单子范畴 $\mathcal{I}$ 与 $\mathcal{I}$-对象 $\mathcal{A}$,$\mathcal{A}$ 的(余)稳定化通过普遍地迫使 $\mathcal{I}$-作用可逆而得到,使得 $\mathcal{I}$ 的每个对象都通过自等价作用于 $\mathcal{A}$。我们引入 $\mathcal{I}$-对象间态射的 $\mathcal{I}$-等变概念,并在由 $\mathcal{I}$-对象与 $\mathcal{I}$-等变态射构成的富化 $2$-范畴中,借助弱端与弱余端给出稳定化与余稳定化的构造。我们观察到,当作用由环路空间函子定义时,相对于一个作用的相对范畴的稳定化与稳定同伦理论中的通常稳定化概念一致。我们表明文献中存在的若干例子(包括各种谱范畴)在固定 $\mathcal{A}$ 及其上的 $\mathcal{I}$-作用后均落入我们的框架。特别地,序列谱、无坐标谱、真等变谱、由向量丛索引的参数化谱的范畴均可作为相对范畴的 $2$-范畴中的弱端得到。另一方面,相对范畴相对于一个作用的余稳定化给出一个类似于 Spanier-Whitehead 范畴版本的稳定的相对范畴。特别地,我们建立了由谱与由类 Spanier-Whitehead 范畴构造稳定同伦范畴之间的一种对偶形式。