含非精确雅可比矩阵的TASE-龙格-库塔方法的稳定性理论

本文分析了Bassenne等人（J. Comput. Phys., 2021）为数值求解刚性初值问题（IVP）而提出的时间精确且高度稳定的显式龙格-库塔（TASE-RK）方法类的稳定性。这类数值方法易于实现，每步只需求解有限个线性系统，其系数矩阵涉及问题的精确雅可比矩阵$J$。为显著降低TASE-RK方法的计算成本而不改变其相容性，可以在其公式中用矩阵$A$（不一定与$J$相关）替换$J$，例如在连续若干步中固定甚至保持常数。然而，TASE-RK方法的稳定性性质强烈依赖于这一选择，且迄今为止的研究均假设$A=J$。在本文中，我们通过考虑任意$A$，从理论上研究了TASE-RK方法的条件稳定性和无条件稳定性。为此，我们首先将雅可比矩阵分裂为$J=A+B$。然后，通过使用稳定性图及其与值域的联系，我们分析了$A$和$B$可同时对角化与不可同时对角化两种情况。在来自应用领域的偏微分方程（PDE）上进行的数值实验展示了本文理论结果的正确性和实用性，以及当$A$选择适当时TASE-RK方法良好的稳定性和效率。