某些色散浅水方程差分逼近的稳定性理论及其在薄膜流中的应用

在本文中，我们研究了 Euler-Korteweg 方程各种差分逼近的稳定性。该演化偏微分方程组是一个经典的等熵 Euler 系统，受到一个色散（三阶）项的扰动。Euler 方程采用经典格式（如 Roe、Rusanov 或 Lax-Friedrichs 格式）进行离散化，而色散项则采用中心有限差分法进行离散化。我们首先证明，差分格式要在 Von Neumann 意义下稳定，需要一定量的数值粘性。随后，我们考虑差分逼近的熵稳定性。为此，我们引入一个额外的未知量，即密度函数的梯度。Euler-Korteweg 系统被转化为一个受二阶斜对称项扰动的双曲系统。我们证明了在适当的 Courant-Friedrichs-Levy 条件下，Lax-Friedrichs 类型格式的熵稳定性。我们在一个简单算例上对方法进行了数值验证，然后对具有表面张力的浅水系统进行了数值模拟，该系统模拟了沿斜面流动的薄膜。此外，我们将 Euler-Korteweg 系统视为演化偏微分方程的哈密顿系统，并提出了一种空间离散化方法。该空间离散化保留了哈密顿结构，因此自然具有熵守恒性。该格式使得对 Euler-Korteweg 系统的色散激波进行数值模拟成为可能。