$C^*$-代数中旋转关系的稳定性

设$\Theta=(\theta_{j,k})_{3\times 3}$为一个非退化实反对称$3\times 3$矩阵,其中$\theta_{j,k}\in [0,1)$。对任意$\varepsilon>0$,我们证明存在$\delta>0$满足如下性质:若$v_1,v_2,v_3$为任意单位简单可分$C^*$-代数$A$中迹秩至多为1的三个酉元,使得对所有$\tau\in T(A)$和$j,k=1,2,3$有$$\|v_kv_j-e^{2\pi i \theta_{j,k}}v_jv_k\|<\delta \,\,\,\, \mbox{且}\,\,\,\, \frac{1}{2\pi i}\tau(\log_{\theta}(v_kv_jv_k^*v_j^*))=\theta_{j,k}$$其中$\log_{\theta}$是某个实数$\theta\in [0, 1)$的对数的连续分支,则存在$A$中的一组酉元$\tilde{v}_1,\tilde{v}_2,\tilde{v}_3$使得$$\tilde{v}_k\tilde{v}_j=e^{2\pi i\theta_{j,k} }\tilde{v}_j\tilde{v}_k\,\,\,\,\mbox{且}\,\,\,\,\|\tilde{v}_j-v_j\|<\varepsilon,\,j,k=1,2,3。$$若$\Theta$为有理或为非退化且$A$为核纯无限简单$C^*$-代数(此时迹条件为空),同样的结论成立。若$\Theta$为退化且$A$迹秩至多为1或为核纯无限简单,我们给出一些额外的单射性条件以得到上述结论。