合冲丛的稳定性与模空间

确定定义在$\mathbb{P}^N$上、作为一般满射$$\phi:\mathcal{O}(-d_1)\oplus...\oplus\mathcal{O}(-d_n) \to\mathcal{O}$$的核的合冲丛$E_{d_1,...,d_n}$是否（半）稳定，是代数几何中的一个长期问题。在本论文中，我们关注与$N\ge2$时$n$个相同次数$d$的一般形式$f_1,...,f_n\in K[X_0,...,X_N]$相关联的$\mathbb{P}^N$上的合冲丛$\mathrm{Syz}(f_1,...,f_n)$的情形。第一个目标是证明当$$N+1\le n\le\tbinom{d+N}{N}$$时，$\mathrm{Syz}(f_1,...,f_n)$是稳定的，除了${(N,n,d)=(2,5,2)}$的情况。第二个目标是研究$\mathbb{P}^N$上包含合冲丛的稳定秩${n-1}$向量丛的模空间。在与Laura Costa和Rosa María Miró-Roig的合作工作中，我们证明，当$N$、$d$和$n$如上所述时，合冲丛$\mathrm{Syz}(f_1,...,f_n)$是无障碍的，并且属于一个一般光滑的不可约分支，其维数在${N\ge3}$时为${n\tbinom{d+N}{N}-n^2}$，在${N=2}$时为${n\tbinom{d+2}{2}+n\tbinom{d-1}{2}-n^2}$。第3章中关于$N\ge3$的结果由Iustin Coandă在arXiv:0909.4435中独立获得。