对称陀螺的稳定性与分岔

我们研究位于 Lie 群 $SO(3)$ 上的粒子相对平衡的稳定性与分岔，其运动由 $SO(3)\times SO(2)$ 不变度规与 $SO(2)\times SO(2)$ 不变势所支配。我们的方法是在 $SO(2)\times SO(2)$ 动量映射的奇异值处约化自由度数，并研究约化系统平衡态作为自旋函数的稳定性。结果给出了拉格朗日陀螺与基尔霍夫陀螺中快/慢转变的初等方法分析。更一般地，由于 $SO(3)$ 上的 $SO(2)\times SO(2)$ 不变势可视为圆上的 ${\mathbb Z}_2$ 不变函数，我们依据该函数的二阶与四阶导数分析了系统相对平衡的稳定性与分岔。