基于随机投影PINN的非线性PDE稳定性与分岔分析：Krylov-Arnoldi 方法

我们提出一种用于求解非线性偏微分方程(PDE)稳定性和分岔分析的数值框架，其中解 sought in由 physics-informed random projection neural networks(PI-RPNN)span 的函数空间中，经 collocation 方法离散化。这些是单隐藏层网络，具有随机抽样和固定的 a priori 隐藏层权重；仅优化线性输出层权重，将训练简化为单次最小二乘求解。这种线性输出结构使得对主动平稳解线性稳定性的特征值问题可直接且明确地表述。这一特征值问题采取广义特征值形式，自然地将物理域内部动力学与边界条件施加的代数约束分离，无需额外训练成本或额外的PDE求解。然而，随机投影 collocation 矩阵在数值上本质上是秩不足的，导致直接特征值计算不可靠，并将真实特征谱与伪影近零模式相污染。为克服这一限制，我们引入一种基于矩阵自由的 shift-invert Krylov-Arnoldi 方法，直接在权重空间中运行，避免对数值秩不足的 collocation 矩阵进行显式逆运算，从而可靠地计算出几个主导特征对——即 PDE算子相对于解场的微分的Frechet 导数的离散化物理雅可比矩阵，其特征谱决定了线性稳定性。我们进一步证明了PI-RPNN 基于的广义特征值问题几乎必然是正规的，保证了使用标准特征求解器求解的可解性；并且对于解析激活函数，随机投影 collocation 矩阵的奇异值呈指数衰减。