完备局部环中的分裂及其单位群的分解

设 $(R,M,k)$ 是一个完备局部环（不一定是 Noetherian 环）。作为本文的第一个主要结果，我们证明了在非等特征情况 $\Char(R)\neq\Char(k)$ 下，单位群之间的自然满射 $R^{\ast}\rightarrow k^{\ast}$ 存在一个分裂。\ 其次，我们通过一种新方法重新证明了在等特征情况 $\Char(R)=\Char(k)$ 下，自然满射环同态 $R\rightarrow k$ 存在分裂。在我们的证明中，不需要等特征完备局部环的系数域存在性，而该存在性是已知证明中最困难的部分。\ 作为一个应用，我们证明了对于任何完备局部环 $(R,M,k)$，以下阿贝尔群的短正合列：\xymatrix{1\ar[r]&1+M\ar[r]& R^{\ast}\ar[r]&k^{\ast} \ar[r]&1} 总是分裂的。特别地，我们有一个阿贝尔群同构 $R^{\ast}\simeq(1+M)\times k^{\ast}$。我们还通过一个例子表明，上述正合列对于许多非完备局部环并不分裂。