用于约束变分问题的分裂前向 - 后向惩罚格式

我们研究一种前向 - 后向分裂算法，用于求解变分不等式 \begin{equation*} A x +\nabla \Phi(x)+ N_C (x) \ni 0 \end{equation*}，其中 $H$ 是实 Hilbert 空间，$A: H\rightrightarrows H$ 是极大单调算子，$\Phi: H\to\mathbb{R}$ 是光滑凸函数，$N_C$ 是闭凸集 $C\subset H$ 的外法锥。约束集 $C$ 表示为两个凸惩罚函数 $\Psi_1:H\to\mathbb{R}$ 和 $\Psi_2: H\to\mathbb{R}\cup \{+\infty\}$ 的最小值集的交集。函数 $\Psi_1$ 是光滑的，函数 $\Psi_2$ 是正常且下半连续的。给定趋于无穷的惩罚参数序列 $(\beta_n)$ 和正时间步长序列 $(\lambda_n)$，该算法 $$\left\{\begin{array}{rcl} x_1 & \in & H,\\ x_{n+1} & = & (I+\lambda_n A+\lambda_n\beta_n\partial\Psi_2)^{-1}(x_n-\lambda_n\nabla\Phi(x_n)-\lambda_n\beta_n\nabla\Psi_1(x_n)),\ n\geq 1. \end{array}\right.$$ 对光滑部分执行前向步，对其他部分执行后向步。在适当假设下，我们获得了序列 $(x_n)$ 弱遍历收敛到变分不等式的解。当 $A$ 是强单调或 $\Phi$ 是强凸时，收敛是强的。当 $A$ 是正常下半连续凸函数的次微分时，我们还获得了整个序列 $(x_n)$ 的弱收敛。这为几类经典及较新的结果提供了统一框架，延续了关于连续和离散梯度型系统的历史研究脉络。