$S_4$ 的 $O(3)$ 旋量表示

离散群 $S_4$ 中所有可能的置换由与正交群 $O(3)$ 相关的三个旋转角分类。我们构造了 $O(3)$ 的旋量表示 ${\bf 2}_D$，其由对应于 $SO(3)$ 中三个泡利矩阵的三个 4$\times$4 矩阵变换。${\bf 2}_D \otimes {\bf 2}_D$ 的不可约分解给出了 $O(3)$ 进而 $S_4$ 的矢量表示 ${\bf 3}$。我们的构造与数学事实 $O(3)=SO(3)\times \boldsymbol{Z}_2$ 一致。旋量空间中的 $\boldsymbol{Z}_2$ 宇称由块非对角矩阵作为旋量宇称算符描述，其特征值为 $\pm 1$，与 $\boldsymbol{Z}_2$ 一致。