尖峰可分协方差矩阵与主成分

我们引入一类形如 $\widetilde{\mathcal{Q}}_1:=\widetilde A^{1/2} X \widetilde B X^* \widetilde A^{1/2}$ 的可分样本协方差矩阵。此处 $\widetilde{A}$ 与 $\widetilde{B}$ 为正规定矩阵,其谱由连续谱块与若干尖峰(即与谱块分离的大特征值)组成。从概念上讲,我们称 $\widetilde{\mathcal{Q}}_1$ 为\emph{尖峰可分协方差矩阵模型}。一方面,该模型以 $\widetilde{B}=I$ 为特例包含了尖峰协方差矩阵;另一方面,它允许数据集具有更一般的关联性。特别地,对于时空数据集,$\widetilde{A}$ 与 $\widetilde{B}$ 分别代表空间与时间相关性。本文研究尖峰可分协方差模型 $\widetilde{\mathcal{Q}}_1$ 的离群特征值与特征向量(即主成分)。我们证明了离群特征值 $\widetilde \lambda_i$ 以及离群特征向量 $\widetilde{\mathbf{\xi}}_i$ 的广义分量(即对任意确定性向量 $\mathbf v$ 的 $\langle \mathbf v, \widetilde{\mathbf{\xi}}_i \rangle$)以最优收敛速率收敛。此外,我们还证明了非离群特征向量的去局域化。我们在完全一般性下陈述结果,即它们在所谓的 BBP 相变附近以及对退化离群值也成立。我们的结果凸显了尖峰可分协方差矩阵模型与尖峰协方差矩阵模型之间的相似与差异。特别地,我们表明 $\widetilde{A}$ 与 $\widetilde{B}$ 两者的尖峰均会引起特征值谱的离群,且特征向量可帮助我们筛选出对应于 $\widetilde{A}$(或 $\widetilde{B}$)尖峰的离群值。