SPIKE: 用于物理信息神经网络的稀疏Koopman正则化

物理信息神经网络（PINNs）通过将物理约束嵌入神经网络训练，提供了一种求解微分方程的无网格方法。然而，PINNs倾向于在训练域内过拟合，导致在推断训练时空区域之外时泛化能力差。本文提出了SPIKE（稀疏物理信息Koopman增强）框架，该框架使用连续时间Koopman算子对PINNs进行正则化，以学习简约的动力学表示。通过在学习的可观测量空间中强制执行线性动力学 $dz/dt = Az$，PIKE（无显式稀疏性）和SPIKE（对 $A$ 施加L1正则化）都学习了稀疏的生成矩阵，体现了复杂动力学具有低维结构的简约原则。在抛物型、双曲型、色散型和刚性偏微分方程（包括流体动力学（Navier-Stokes）和混沌常微分方程（Lorenz））上的实验表明，在时间外推、空间泛化和长期预测精度方面均有持续改进。结合矩阵指数积分的连续时间公式为刚性系统提供了无条件稳定性，同时避免了离散时间Koopman算子固有的对角占优问题。