D_4 格的球设计与模形式

本文中，我们研究 $D_4$ 格的壳层，采用 Delsarte-Goethals-Seidel 提出的球 $t$-设计的轻微推广，即 Delsarte-Seidel 引入的调和指标 $T$ 的球设计（简称球 $T$-设计）。我们首先观察到，对任意正整数 $m$，$D_4$ 的 $2m$-壳层是三维球面上的对径球 $\{10,4,2\}$-设计。然后我们利用线性规划方法证明 $2$-壳层（即 $D_4$ 根系）是一个紧的 $\{10,4,2\}$-设计。给出了 $D_4$ 根系作为具有 24 个点的对径球 $\{10,4,2\}$-设计的唯一性。我们给出该唯一性的两个应用：$D_4$ 格壳层按 $D_4$ 根系的正交变换分解，以及 $D_4$ 格作为四维欧氏空间中 2 级偶整格的唯一性。我们还揭示了 $D_4$ 格壳层的调和强度与某 2 级新形式的傅里叶系数非零性之间的联系。受此启发，讨论了傅里叶系数的同余关系。