连续单轴多晶材料有效传输的谱理论

遵循1980年代初的经典工作，该工作确立了两相随机介质均匀化传输系数的存在性与表示式后，我们发展了数学框架，提供单轴多晶材料bulk传输系数的Stieltjes积分表示式，涉及自伴随机算子的谱测度，这些算子是由非随机与随机投影算子组成。我们展示了相同的数学框架也描述了两组分复合材料，通过替换随机投影算子即可。详细分析确立了每个setting中出现的算子在$L^2$型希尔伯特空间上确实为自伴算子，为1983年由Golden和Papanicolaou所确立的形式谱论框架提供了严谨的基础。对Helmholtz定理的抽象扩展也导致有效参数（如有效导电率和电阻率）的倒数积分表示式。有效参数问题的另一种形式化方法以Sobolev型希尔伯特空间表示，为Bergman和Milton最初确立的该方法提供了严谨的基础。我们表明，两种表述之间的对应关系是一一等距。严格的界限可从这些Stieltjes积分以及对材料几何的部分认识中推导，经数值计算验证了多晶介质的有效参数。