再现性核希尔伯特空间中的谱等变性与几何传输：面向正交多项式与核估计的统一框架
统计理论
2025-12-16 v1 统计理论
摘要
我们构建了一个基于“双胞核空间”（Twin Kernel Spaces）概念的统一几何框架，用于无参数估计。该概念定义为在群作用下的再现性核的轨迹。这种结构在其中引发一系列传输后的 RKHS 几何，使得经典正交多项式估计方法、核估计方法以及谱光滑方法均可视为投射到传输后的本征函数系统上。我们的主要贡献在于证明了谱等变性定理，表明任何传输核的本征函数均可通过对基础本征函数的单位传输获得。据此可得，正交多项式估计在几何变形下具有等变性，核估计对应于双胞空间中的软谱滤波，且小 minimax 率与偏差-方差权衡在传输下保持不变。我们给出基于 Hermite 和 Legendre 多项式、仿射和高斯群的示例，并阐述了双胞传输在自适应和多模态估计中的有效性。该框架揭示了群作用、RKHS 几何与谱无参数方法之间的深刻联系，提供了一个涵盖核光滑、正交级数、样条曲线和多尺度方法的统一视角。
关键词
引用
@article{arxiv.2512.13073,
title = {Spectral Equivariance and Geometric Transport in Reproducing Kernel Hilbert Spaces: A Unified Framework for Orthogonal Polynomial and Kernel Estimation},
author = {Jocelyn Nembé},
journal= {arXiv preprint arXiv:2512.13073},
year = {2025}
}