运输方程的核方法及其用于Koopman特征函数逼近的学习核：通过变分方法、Green函数与特征方法的统一框架
数值分析
2026-03-10 v1 数值分析
动力系统
机器学习
摘要
我们提出了一个用于构建适用于运输方程并针对非线性动力学系统Koopman特征函数的再生产核的统一理论和计算框架。这些特征函数满足一种运输类型偏微分方程（PDE），我们通过三种从分析上得到的 метод：（i）在再生产核希尔伯特空间（RKHS）中的Lions类型变分原理，（ii）与Green函数的卷积，（iii）沿特征流动的拉普拉斯变换构建的残差算子来进行求逆。我们证明，在温和的光滑性和因果性假设下，这三种构建方式产生相同的核。我们进一步表明，相关的核特征函数（Mercer模）在L^2意义上收敛于真实的Koopman特征函数，当这些特征函数位于RKHS中时。我们的方法通过网格自由、凸优化框架进行数值实现，增强了边界正则化以处理特征函数的发散。最后，我们演示了相同的框架适用于更广泛的线性运输PDE类，包括输运、连续性和Liouville方程。变分原理、Green函数与特征方法的统一，使得开发用于逼近运输方程特征函数（包括Koopman算子特征函数）的新方案成为可能，并引入了一种数据驱动的方法，用于学习针对这些逼近的核。数值实验确认了该方法的实用性和鲁棒性。
关键词
引用
@article{arxiv.2603.06872,
title = {Kernel Methods for Some Transport Equations with Application to Learning Kernels for the Approximation of Koopman Eigenfunctions: A Unified Approach via Variational Methods, Green's Functions and the Method of Characteristics},
author = {Boumediene Hamzi and Houman Owhadi and Umesh Vaidya},
journal= {arXiv preprint arXiv:2603.06872},
year = {2026}
}